השפעת המסה של רוכב אופניים במורד האם קיים יתרון לכבדים?

לצאת מהשגרה השפעת המסה של רוכב אופניים במורד האם קיים יתרון לכבדים? חזי יצחק, גיל ברן, המכון לחקר המדבר, שדה בוקר, ובית הספר התיכון לחינוך סביבתי, מדרשת שדה בוקר 1. הקדמה על המערכת אופניים+רוכב הנמצאת בתנועה בקו ישר פועלים מספר כוחות. חשוב להדגיש שמערכת זו אינה גוף נקודתי ויש חשיבות גם לנקודת האחיזה בה פועלים הכוחות. באמצעות סיבוב הפדלים מפעיל הרוכב מומנט סיבוב המסובב את גלגל השיניים הקדמי )שנקרא גם גלגל מניע(, ובאמצעות השרשרת עוברת ההנעה לגלגלי השיניים האחוריים המחוברים לגלגל האחורי. הגלגל האחורי מסתובב ומפעיל כח חיכוך על הקרקע שכיוונו אחורה. על פי החוק השלישי של ניוטון הקרקע מפעילה כח שווה בגודלו אך בכיוון הפוך על האופניים וזהו למעשה הכח שמניע את האופניים קדימה. בתרשים 1, מסורטטים הכוחות הפועלים על האופניים המתקדמים בקו ישר בעלייה..נוכל לרשום את משוואת התנועה של האופניים 2003) (Wilson 2004; Kyle באופן הבא: (1) ma = F P - (F A + F S + F R ) תקציר במסגרת לימודי המכניקה בתיכון, אנו דנים בין היתר בחיכוך סטטי וקינטי הפרופורציוניים לכח הנורמלי. בהשפעת כוחות חיכוך אלו הגוף נע במורד מדרון משופע לא חלק בתאוצה קבועה שאינה תלויה במסה. מסקנה זו אינה תקפה למקרים בהם כח החיכוך תלוי במהירות כמו בתנועה של גופים דרך זורמים )לדוגמה טיפות של גשם הנופלות לארץ(. במקרה כזה הגוף ינוע בתאוצה הקטנה עם הזמן ואחר כך במהירות קבועה משום ששקול הכוחות שיפעלו עליו יתאפס. המהירות הגבולית הזו תלויה בתלות של כח החיכוך במהירות ובפרמטרים גיאומטריים הקובעים את גודלו של כח החיכוך. במאמר זה אנו מראים שתופעה דומה מתרחשת גם עבור אופניים הגולשים במדרון בעל שיפוע קבוע. כמו כן חקרנו את הקשר בין המהירות הגבולית של האופניים למסה באמצעות אופניים שעליהם הותקנה מערכת חיישנים משוכללת ההופכת אותם למעבדה ממוחשבת. הכוחות הפועלים על האופניים והרוכב תרשים 1: הכוחות הפועלים על המערכת אופניים+רוכב הנעים בקו ישר במעלה מישור משופע. המשקל פועל ממרכז המסה של המערכת והכוחות הנורמליים פועלים בנקודות המגע של הצמיגים עם הקרקע. הכח המניע את האופניים הוא למעשה כח החיכוך שהקרקע מפעילה על הגלגל האחורי. על האופניים פועלים שני כוחות חיכוך עיקריים. האחד הוא כח החיכוך עם האוויר והשני הוא כח החיכוך בין הגלגלים לקרקע. כח החיכוך הפנימי הפועל בצירי הגלגלים הוא קטן והוא זניח. "תהודה", כרך 26, חוברת מס' 39 2

כאשר F P הוא הכח המניע את האופניים, F A הוא כח ההתנגדות F R הוא F S הוא כח ההתנגדות הנובע משיפוע הדרך, של האוויר, כח חיכוך הגלגול הנובע מדפורמציה של הצמיג והקרקע. m היא מסת הרוכב והאופניים ו- a היא תאוצת הרוכב והאופניים. הכוחות החשובים, בכביש יחסית חלק, הם כח ההתנגדות של האוויר וחיכוך הגלגול. כח החכוך עם האוויר נובע מדחיפת האוויר הצידה בעת התקדמות האופניים ויצירת לחץ אוויר גבוה לפני הרוכב ולחץ אוויר נמוך מאחורי הרוכב וכן מחיכוך של האוויר הנע על שטחי הפנים של הרוכב והאופניים. הנקודה החשובה היא שכח זה תלוי בריבוע מהירות האופניים. ומעל מהירות של 15 קמ"ש (1986 (Kyle, כח זה הופך לדומיננטי. באופן מדויק יותר ניתן לרשום את כח ההתנגדות של האוויר באופן הבא: (2) F A = K d (v + v w ) 2 v w היא מהירות כאשר v היא מהירות האופניים ביחס לקרקע ו- K d תלוי בשטח החתך v w עבור רוח נגדית (. 1 המקדם הרוח 0( > של הרוכב והאופניים בניצב לכיוון התנועה- A, בסוג האופניים ובצפיפות האוויר ונתון על פי הביטוי הבא (1990 :(Hennekam 1 (3) Kd = c A 2 d ρ c d )מקדם חסר מימדים( הוא כמעט קבוע ובקירוב מקדם הגרר ראשון אינו תלוי במהירות. מקדם הגרר נובע בעיקר מהתפתחות מערבולות אוויר מאחורי האופניים הנעים. לדוגמה, עבור אופני c d כאשר הרוכב זקוף וערכו קטן ל- 0.9 כאשר ספורט = 1.0.הרוכב כפוף. שטח חתך טיפוסי של רוכב במצב זקוף הוא ρ A. = 0.4 m 2 היא צפיפות האוויר וערכה בגובה פני הים הוא 1.2. kg/m 3 באמצעות נתונים אלה נוכל לחשב את כח התנגדות האוויר עבור רוכב אופני ספורט )במצב זקוף( הנע במהירות 36 קמ"ש )10 מטר לשנייה( ללא רוח: (4) F A = 0.5 1.0 0.4 1.2 10 2 = 24 newton חיכוך הגלגול תלוי בכוחות הנורמליים הפועלים על כל גלגל, c r התלוי בלחץ האוויר, בשטח וצורת ובמקדם חיכוך גלגול החתך של הצמיג, בקוטר הגלגל וכן במשטח עצמו. בקירוב נוכל לאחד את שני הכוחות הנורמליים לכח אחד N ולרשום את חיכוך הגלגול הפועל על שני הגלגלים ביחד באופן הבא: (5) F R = c r N.עבור אופני מירוץ ערך טיפוסי של מקדם חיכוך גלגול הוא c. r לדוגמה עבור מסה כוללת של 85 ק"ג כח חיכוך = 0.003 הגלגול במישור יהיה: (6) F R = 0.003 85 9.8 = 2.50 newton כדאי לשים לב שכח חיכוך הגלגול אינו תלוי במהירות )בקירוב( 1 עבור רוח צד יש לבצע חיבור וקטורי ולמצוא את וקטור המהירות השקול ומשום שכח החיכוך תלוי בריבוע מהירות הרוכב ביחס לאוויר, כח החיכוך עם האוויר גדל לעומת רכיבה ללא רוח צד (2006.(Hermans1, בעוד שכח התנגדות האוויר תלוי בריבוע המהירות. עובדה זו היא בעלת חשיבות מכרעת למהירות האופניים. כדי להגיע למהירויות גבוהות יש להקטין את כח התנגדות האוויר על.)c d ידי שיפור הצורה האווירודינמית של האופניים )הקטנת עושים זאת על ידי בניית מעטפת מיוחדת מסביב לאופניים בהם הרוכב נמצא במצב של ישיבה. אופניים כאלו נקראים בשם הכללי HPV שפירושו Human Powered Vehicles ומידי שנה נערכות תחרויות שבהן מנסים לשבור את שיא המהירות במישור או לשבור את שיא המרחק שניתן לעבור בשעה. 2 רוכבים תחרותיים מקטינים את התנגדות האוויר על ידי רכיבה בטור כאשר הרוכבים צמודים האחד לשני, מה שנקרא בשפה המקצועית,Drafting במקרה זה הרוכבים מאחור חוסכים כ- 20% מהאנרגיה שהייתה דרושה להם לו רכבו לבד. בשל העובדה שכח החיכוך עם האוויר גדל כמו v, 2 ואלו ההספק הנדרש כדי להתגבר עליו יגדל כמו v, 3 וזו הסיבה למאמצים הרבים המושקעים בהקטנתו )ראה תרשים 2(. תרשים 2: תופעת Drafting בתעופת עגורים, רוכבי אופניים ובמכוניות מירוץ. המטרה היא לנוע בצמוד ומאחורי גוף נע כדי להימצא באזור בו התנגדות האוויר היא קטנה וכך לחסוך באנרגיה. בדוגמה של האופניים, הרוכב מאחור יכול לחסוך עד 30% בהספק לעומת רכיבה באותה מהירות אבל לבד (1999 al.,.(broker et עבור אופניים הגולשים במדרון שזווית שיפועו היא a משוואת התנועה של האופניים (1991 Bontsema, (Hennekam and נתונה במשוואה 7: 2 v (7) m = mg(sin a - c cos ) K v 2 t r a - d 2 v T תתקבל כאשר תאוצת האופניים תתאפס המהירות הגבולית mg(sina - c r ולכן נקבל cosa) = K d כלומר יתקיים השוויון הבא v 2 :v T עבור.2 פרטים נוספים על ההיסטוריה והמכניקה של אופניים אלו ראה.http://home19.inet.tele.dk/badbirk/ שיא המהירות באופניים הושג ב- 1995 ע"י פרד רומפלברג שרכב מאחורי רכב ועל אופניים מיוחדים והוא עומד על 268 קמ"ש! (2006.(Hermans2, 40 "תהודה", כרך 26, חוברת מס' 2

(8) vt = mg(sina - cr cos a) Kd הפתרון של המהירות כפונקציה של הזמן נתון על ידי: (9) v(t) = gtanh(ψ + t/σ) v = m/ F 0/Kd F 0 ו- = mg(sina c r כאשר cosa), g = F 0 /Kd. הקבוע ψ נקבע על פי המהירות ההתחלתית ועל פי הקשר:.v(0) = gtanhψ משוואת התנועה של אופניים בעלייה במישור משופע תהיה: 2v (10) m = F mg(sin c cos ) K v t P - a + r a - d 2 2 בהנחה שמהירות הטיפוס היא קטנה )העלייה תלולה(, ניתן להזניח את החיכוך עם האוויר ובהנחה שהרוכב משקיע הספק קבוע, מהירותו תקטן עם הגדלת המסה. 3 בעליות מתונות שבהן לא ניתן להזניח את חיכוך האוויר, עדיין תוספת הזמן בעלייה תהיה גדולה יותר מאשר הרווח בירידה בעיקר משום שהזמן שהרוכב מדווש בעלייה הוא ארוך יותר מאשר הזמן שבו הוא גולש בירידה. לכן בתחרות אופניים כמו הטור דה פראנס יש חשיבות גדולה לקטעים ההרריים בהם יש יתרון לרוכבים בעלי משקל נמוך. לעומת זאת, לרוכבים שמשקלם גדול יותר יש יתרון בירידות, 4 אולם משום שהעליות מתמשכות על פני זמן ארוך יותר, לרוכבים קלים יש יתרון בדרך הררית הכוללת עליות וירידות (1997.(Swain, 2. תיאור מערכת הניסוי כדי לחקור את השפעת המסה על המהירות הגבולית של אופניים במורד השתמשנו באופני הרים שעליהם הותקנה מערכת של חיישנים ואיסוף מידע Polar 725s בתוספת האופציה להוספת מד הספק. מערכת זו )ראה תרשים 3( מסוגלת למדוד ולאגור נתונים ברזולציה מרבית של 5 שניות. המערכת מסוגלת למדוד את מהירות האופניים, קצב סיבובי הפדלים, את הגובה מעל פני הים, את ההספק המושקע על ידי הרוכב על ידי מכפלת מתיחות השרשרת במהירותה וכן את הדופק באמצעות חגורת חזה המשדרת את הנתונים ליחידה המותקנת על האופניים. מערכת זו היא אחת מארבע מערכות למדידת הספק שקיימות היום בשוק ומחירה יחסית נמוך ורמת הדיוק שלה גבוהה. בניסוי זה לא השתמשנו בפונקציה זו של מדידת ההספק )ההספק של הרוכב בגלישה במורד הוא אפס(, אך ניצלנו את היכולת שלה.3 בהזנחת חיכוך הגלגול נקבל שמהירות האופניים בעלייה תהיה:.(Atkinson et al., 2003) הוא הספק הרוכב P כאשר v = P/mgsina 4 ממשואות 3 ו- 8 ניתן להראות שהמהירות הגבולית בירידה תלויה ביחס (m/a) 0.5 כאשר A הוא שטח החתך של הרוכב, ויחס זה הוא גדול יותר עבור רוכבים גדולים )לפרטים נוספים על רכיבה בעליות ובירידות ראה לדגום את המהירות הרגעית של האופניים כל 5 שניות, את המסה שינינו על ידי הוספת משקולות של חדר כושר )השתמשנו גם בפטיש וגם בכדור ברזל( לתרמיל גב שאותו נשא הרוכב. הגענו לתוספת מסה מכסימלית של 40 ק"ג. איתרנו כביש ששיפועו היה בקירוב קבוע וכן נפח התנועה עליו היה קטן- קטע הכביש העולה מצומת ציפורים לרמת מטרד כ- 8 ק"מ מדרום למדרשת שדה בוקר. את הניסוי ערכנו לפני הצהריים, כדי לצמצם את השפעת הרוח, שכן אחר הצהרים מנשבות באיזור רוחות מערביות שמהירותן כ- 6 מטר לשנייה. על פי משוואה 8, המהירות הגבולית גדלה ביחס לשורש הריבועי של מסת המערכת אופניים ורוכב, ומטרתנו הייתה לבדוק עד כמה קשר זה עומד במבחן המציאות. תושבת לאיסוף הנתונים והעברתם לשעון. מגנט למדידת מהירות סיבוב הפדלים.(Cadence) מבנה מערכת למדידת הספק מודד את מהירות סיבוב הגלגל. יחידת החישוב אכסון הנתונים והתצוגה. מודד את מהירות השרשרת באמצעות חישן מגנטי. מודד את מתח השרשרת ע פ תדר הרעידות שלה. תרשים 3: תיאור סכימטי של מערכת Polar 725s למדידת הספק. הנתונים השונים נאגרים בשעון המורכב על האופניים וניתן להוריד אותם באמצעות חיבור אינפרא אדום למחשב הנייד. תרשים 4 מתאר את הכביש בו בוצע הניסוי. המדידה התבצעה לאורך קטע של 600 מטר והפרש הגובה בין נקודת ההתחלה והסיום היה כ- 35 מטרים כלומר שיפוע בן 3.34. תרשים 4: ביצוע הניסוי במורד הכביש המוביל מבסיס רמון לצומת ציפורים, מדרום למדרשת בן גוריון. השיפוע בקטע שנבחר הוא בקירוב קבוע, ונפח התנועה על כביש זה הוא קטן. כדאי לבצע את הניסוי מוקדם בבוקר כדי להקטין את השפעת האוויר על תוצאות הניסוי. רצוי גם שאורך הכביש יהיה לפחות חצי ק"מ. )http://sportsci.org/jour/9804/dps.html#ref "תהודה", כרך 26, חוברת מס' 41 2

3. תוצאות תרשים 5 מתאר דוגמה של גרף המהירות כפונקציה של הזמן עבור רכיבה במסה של 106.4 ק"ג. מהגרף ניתן לראות שבתחילה מהירות האופניים גדלה בקצב ההולך וקטן, כלומר התאוצה קטנה עם הזמן ולאחר כ- 50 שניות המהירות מגיעה בקירוב למהירות הגבולית של כ- 42 קמ"ש והתאוצה מתאפסת. את ההעתק כפונקציה של הזמן ניתן לקבל על ידי אינטגרציה נומרית של המהירות לפי הזמן. תרשים 6 מתאר את ההעתק כפונקציה של הזמן במהלך הרכיבה במורד. ניתן לראות שבחלק האחרון של התנועה מתקבל קו ישר המעיד על כך שהאופניים הגיעו בקירוב למהירות קבועה. בניסוי הגדלנו את המסה במרווחים של 5 ק"ג. הקפדנו גם לרכב באותה תנוחה כדי לא לשנות את מקדם הגרר. תוצאות הניסוי מובאות בטבלה 1: מסה כוללת מהירות סופית (km/h) של הרוכב והאופניים (kg) 40.0 43.3 41.7 46.2 46.1 45.0 44.8 46.4 52.6 47.4 96.7 101.5 106.4 111.2 116.1 120.9 125.8 130.6 135.5 140.3 טבלה 1: הטבלה מציגה את המהירות הסופית שהתקבלה בגלישה במורד עבור מסות שונות. הניסוי נמשך כשעה וחצי ומידי פעם היו משבי רוח שהשפיעו על המהירות הסופית וגרמו לפיזור התוצאות. ln(v T ) 2.7 2.65 2.6 2.55 2.5 2.45 y=0.49x+0.2 data 1 linear 2.4 4.5 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85 4.9 4.95 5 ln(m) תרשים 7. גרף של ) T ln(v כפונקציה של ln(m) עבור ניסוי גלישה במורד. שיפוע הקירוב הליניארי הוא 0.49, קרוב מאד לשיפוע התיאורטי שהוא 0.5. משוואת הקירוב הליניארי היא: = 0.49 T lnv.ln(m) + 0.2.ln(m) כפונקציה של ln(v T בתרשים 7, בו בחרנו לסרטט את ) על פי משוואה 8 משוואת הישר היא: 1 1 (sina - cr cos a) (11) ln(v T) = l n ( m) + l n > g H 2 2 Kd שיפוע הקו הישר הוא 0.49 קרוב מאד לשיפוע התיאורטי 0.5. פיזור הנקודות נובע בעיקר מאי דיוקים הנובעים ממשבי רוח פתאומיים שנשבו במהלך הניסוי. תנאי השטח, אינם מאפשרים כמובן תנאים אופטימליים לניסוי משום שהרוח אינה קבועה, לא Velocity[km/h] 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 Time[s] תרשים 5: תוצאות מדידת מהירות האופניים במורד ביחידות של קמ"ש כפונקציה של הזמן )שניות(, עבור ניסוי גלישה במורד. האופניים נעים בתנועה בתאוצה ההולכת וקטנה וזאת משום שכאשר מהירות האופניים גדלה, כח החיכוך עם האוויר גדל. לאחר כ- 50 שניות הכח השקול הפועל על האופניים מתאפס ולכן האופניים ימשיכו להתקדם במהירות קבועה שבמקרה זה היא כ- 42 קמ"ש. בניסוי המתואר בגרף, מסת הרוכב+האופניים הייתה 106.4 ק"ג. x(m) 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 60 Time[s] תרשים 6: ההעתק כפונקציה של הזמן עבור התנועה שתוארה בתרשים 5. ההעתק חושב באופן נומרי על ידי חישוב האינטגרל של המהירות שנמדדה על ידי מערכת ה- Polar. 42 "תהודה", כרך 26, חוברת מס' 2

5. ביבליוגרפיה Atkinson G. et al (2003), Science and cycling: current knowledge and future directions for research, Journal of Sports Sciences, 21, pp. 767 787. Broker, J. P., et al. (1999). Racing cyclist power requirement in the 4000m individual and team pursuits. Medicine and Science in Sports and Exercise, 31, 1677-1685. Hennekam, W. and J. Bontsema (1991). Determination of F n and K d from the solution of the equation of motion of a cyclist. European Journal of Physics, 12, 59-63. Hermans1, L. J. F. (2006). Physics in daily life: cycling in the wind. europhysicsnews, 37, 2,29. Hermans 2, L. J. F. (2006). Physics in daily life: cycling really fast, europhysicsnews, 37, 4, 17. Kyle, C. R. (2003). Mechanical factors affecting the speed of a bicycle. In "Science of Cycling", edited by E. R. Burke, pp. 123-136. Human Kinetics, Champaign, IL. Kyle, C. R. (2003). Selecting cycling equipment. In "High-Tech Cycling", edited by E. R. Burke, pp. 1-48. Human Kinetics, Champaign, IL. Pye, K. and Tsoar H. (1990). "Aeolian Sand and Dunes", Unwin Hyman, London. Swain, D. P. (1997). A model for optimizing cycling performance by varying power on hills and in wind, Medicine and Science in Sport and Exercise, 29, pp. 1104-1108. Wilson, D. G. (2004). Bicycling Science, Third edition. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts. בעוצמתה ולא בכיוונה. משבים אלו של רוח שמהירותם יכולה להגיע ל- 5 מטר לשנייה הם אופייניים לזרימה טורבולנטית באטמוספירה (1990 Tsoar,.(Pye and אנחנו ביצענו את הניסוי בשעות הצהריים וכדי להקטין עוד יותר את השפעת הרוח, כדאי היה לבצע את המדידות מוקדם בבוקר לפני התחממות האוויר. משום שהתנגדות האוויר היא פרופורציונית לריבוע מהירות האופניים ביחס לאוויר, הרוח יכולה להשפיע באופן ניכר על המהירות הגבולית של האופניים. אי דיוקים נוספים יכולים לנבוע משינויים קטנים בתנוחת הרוכב שקשה מאד לשמור עליה באופן מדויק. כמו כן הזנחנו בניתוח התוצאות את הגדלת מקדם חיכוך הגלגול כתוצאה מהגדלת המשקל, אך במהירויות גבוהות חיכוך הגלגול זניח ביחס לחיכוך עם הרוח.)Kyle, 2003) 4. סיכום אופניים המצוידים במערכת חיישנים מסוג Polar 725s מהווים מעין מעבדה ממוחשבת המשתפת את הרוכב באופן אקטיבי בביצוע הניסוי ומכאן הפוטנציאל הדידקטי הטמון בה להוראת מדעים. באמצעות האופניים ניתן לבצע סדרת ניסויים שתלווה את תוכנית לימודי המכניקה בכיתה י"א כולל את הפרקים הדנים בעבודה ובאנרגיה וזאת על שימוש באופציית מדידת ההספק )שלא הדגמנו במאמר זה(. התלמיד יוכל לבצע מדידות על גופו ועל ידי כך להגדיל את העניין והמוטיבציה שלו בלימודי הפיסיקה. במאמר זה הראינו כיצד משפיעה המסה על המהירות הגבולית של אופניים המחליקות במדרון. בדרך כלל במהלך שיעורי הפיסיקה, אנו דנים במערכות בהן כח החיכוך הוא פרופורציוני לכח הנורמלי ואז המהירות אינה תלויה במסה. אולם עבור גופים הנופלים באטמוספירה, כח החיכוך עם האוויר הוא דומיננטי ותלוי בריבוע מהירות הגוף. במקרה זה גופים כבדים יותר נופלים מהר יותר. הראינו שבקירוב טוב למדי, המהירות הגבולית של האופניים גדלה ביחס ישר לשורש הריבועי של המסה ולכן יש יתרון לרוכבים כבדים בירידות, אבל יתרון זה הוא בעוכריהם בעליות ולכן בדרך כלל המנצחים בתחרויות כמו הטור דה פראנס הם המטפסים הטובים ביותר מבין כל הרוכבים ומשקלם הוא פשרה בין מסת שרירים גדולה לבין מסה נמוכה. תודות עבודה זו היא חלק מפרויקט "פיסיקה על גלגלים" המתבצע במדרשת שדה בוקר ובתמיכת הקרן לעידוד יוזמות חינוכיות.וקרן יק"א בישראל. מידע נוסף באתר "באופן אחר".biking.boker.org.il תהודה "תהודה", כרך 26, חוברת מס' 43 2